PMxR8Pyr2WDa5dZCeNij6LijguE Cian Blog's: April 2013

Social Icons

Pages

Senin, 15 April 2013

BELAJAR SISTEM BILANGAN REAL


SISTEM BILANGAN REAL adalah materi yang akan matematika universitas bahas pada postingan kali ini. Sebelum kita belajar tentang sistem bilangan real ini pertama-tama matematika universitas menegur sapa kepada sahabat sharematika semua, telah berjumpa lagi dengan matematika universitas blog yang sangat sederhana ini yang membahas semua materi matematika universitas atau materi matematika perguruan tinggi.
Sistem bilangan real ini merupakan dasar dari mata kuliah kalkulus 1. Untuk itu matematika universitas memposting materi ini untuk membantu sahabat sharematika dalam belajar kalkulus lanjut1. Sebelum kita memulai materi ini, alangkah baiknya kita berdoa terlebih dahulu.

Berikut materi Kalkulus 1 tentang sistem bilangan real!

Sistem Bilangan Real.


Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada konsep tentang himpunan. Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi {   }.

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka  dibaca “a elemen S”. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dibaca “a bukan elemen S”.

Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. Pertama, dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:


Cara yang kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:
Selanjutnya, akan disampaikan beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting.














Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,
















Sedangkan bilangan phi merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap diameternya (Gambar 1.1.2).
 Demikian materi kalkulus 1 tentang Sistem bilangan real, semoga bermanfaat untuk sahabat sharematika. jangan luka tinggalkan komentar. Kunjungi terus matematika universitas blog yang membahas semua materi matematika universitas atau matematika perguruan tinggi. Sukses selalu untuk kita semua.


Good Bless

PEMBAHASAN DARI MACAM-MACAM MATRIKS,


Macam-Macam Matriks adalah judul dari postingan ini. Tegur sapa matematika universitas untuk sahabat sharematika semua. Berjumpa lagi dengan matematika universitas blog yang membahas semua materi matematika universitas atau materi matematika perguruan tinggi. Sebelum kita membahas Macam-macam matriks alangkah baiknya kita berdoa terlebih dahulu. 
Matriks adalah salah satu materi dari mata kuliah aljabar linier dan kali ini kita akan membahas salah satu materi dari aljabar linier ini yang berjudul macam-majam matriks.Sebelum kita mempelajari apa saja macam-macam matriks alangkah baiknya kita mengetahui terlebih dahulu apa itu matriks.
Definisi Matriks.
Matriks adalah susunan elemen-elemen yang berbentuk persegi panjang atau persegi yang diatur menurut baris-baris dan kolom-kolom serta ditempatkan dalam tanda kurung biasa atau kurung siku.

Setelah kalian tahu definisi matriks mari kita melangkah ke macam-macam matriks :
Pertama.
Matriks persegi atau Matriks bujur sangkar
Matriks persegi adalah matriks yang memiliki baris dan lajur yang sama bentuknya.
m=n.
Contoh matriks persegi :




Kedua.
Matriks Diagonal.
Matriks diagonal adalah matriks yang unsur-unsurnya semua bernilai nol kecuali pada diagonal utamanya.
Contoh Matriks diagonal:





Ketiga.
Matriks Segitiga.
Matriks segitiga adalah matriks yang semua unsur diatas diagonal utamanya bernilai no, ataupun dibawah diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh matriks segitiga :




Keempat.
Matriks Setangkup atau matriks simetris
Matriks satangkup adalah matriks persegi yang unsurnya pada baris ke-i dan ke-j sama nilainya dengan unsur pada kolom ke-j dan ke-i.
Contoh matriks setangkup.




Kelima.
Matriks identitas.
Matriks identitas adalah matriks skalar uang nilai unsur-unsur diagonal utamanya sama dengan satu.
Contoh matriks identitas.




Keenam.
Matriks nol.
Matriks nol adalah matriks yang semua unsur-unsurnya bernilai sama dengan nol.
Contoh matriks nol.




Ketujuh.
Matriks Baris.
Matriks baris adalah matriks yang unsur-unsurnya membentuk suatu baris bilangan.
contoh matriks baris.
( 1 3 2 7 5 )

Kedelapan.
Matriks Kolom.
Matriks kolom adalah matriks yang unsur-unsurnya membentuk suatu kolom.
Contoh matriks kolom.










Sumber : http://matematikauniversitas.blogspot.com

BELAJAR ALJABAR LINIER

Aljabar dasar, yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan riil, menggunakan simbol sebagai “pengganti” untuk menandakan konstanta dan variabel, dan mempelajari aturan tentang ungkapan dan persamaan matematis yang melibatkan simbol-simbol tersebut.

- Aljabar abstrak, yang secara aksiomatis mendefinisikan dan menyelidiki struktur aljabar seperti kelompok matematika, cincin matematika dan matematika bidang.

- Aljabar linear, yang mempelajari sifat-sifat khusus ruang vektor (termasuk matriks).

- Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar.

- Aljabar komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda matematis


Persamaan Linear & Matriks



Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5
x1 − 5x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2 − 3x3 = 9
dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
\begin{bmatrix}
3 & 4 & -2 & 5\\
1 & -5 & 2 & 7\\
2 & 1 & -3 & 9\\
\end{bmatrix}
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks


[Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & -5 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & -8 & 8\\
\end{bmatrix}
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & -5 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & 1 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 5\\
0 & 0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 6\\
\end{bmatrix}

Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
1 & 3 & 2 & 9\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix}
Operasikan Matriks tersebut
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix} Baris ke 2 dikurangi baris ke 1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & -3 & 0 & 0\\
\end{bmatrix} Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 3 & 9\\
\end{bmatrix} Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1 & 3\\
\end{bmatrix} Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6
y + z = 3
z = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
Sumber : http://kuzon.wordpress.com/

Belajar Matriks dan Memahaminya..



Membuat Matriks

Istilah matriks dan array sering digunakan secara bergantian. Lebih tepatnya, adalah matriks adalah array dua dimensi persegi panjang dari bilangan real atau kompleks yang merupakan transformasi linear. Operasi aljabar linear didefinisikan pada matriks telah menemukan aplikasi dalam berbagai bidang teknik. (The Simbolik Math Toolbox opsional memperluas kemampuan MATLAB untuk operasi pada berbagai jenis matriks nonnumeric.
MATLAB memiliki puluhan fungsi yang menciptakan berbagai jenis matriks. Dua dari mereka dapat digunakan untuk membuat sepasang 3-by-3 matriks contoh untuk digunakan di seluruh bab ini. Contoh pertama adalah simetris.
A = pascal(3)
A =
1     1     1
1     2     3
1     3     6
Contoh kedua adalah tidak simetris.
B = magic(3)
B =
8     1     6
3     5     7
4     9     2
Contoh lain adalah matriks 3-by-2 persegi panjang dari bilangan bulat acak.
C = fix(10*rand(3,2))
C =
9     4
2     8
6     7
Sebuah vektor kolom adalah-m-1 matriks, vektor baris adalah 1-by-n matriks dan skalar adalah 1-by-1 matriks. pernyataan
u = [3; 1; 4]
v = [2 0 -1]
s = 7
menghasilkan vektor kolom, vektor baris, dan skalar.
u =
3
1
4
v =
2     0    -1
s =
7
Menambah dan Dengan mengurangi Matriks
Penambahan dan pengurangan matriks didefinisikan seperti itu untuk array, elemen-oleh-elemen. Menambahkan A ke B dan kemudian mengurangkan A dari hasil pulih B.
A = pascal(3);
B = magic(3);
X = A + B
X =
9     2     7
4     7    10
5    12     8
Y = X – A
Y =
8     1     6
3     5     7
4     9     2
Penambahan dan pengurangan matriks memerlukan keduanya memiliki dimensi yang sama, atau salah satunya berupa sebuah. Jika dimensi tidak kompatibel, sebuah hasil kesalahan.
C = fix(10*rand(3,2))
X = A + C
Error using ==> +
Matrix dimensions must agree.
w = v + s
w =
9     7     6
Vektor Produk dan Transpose
Sebuah vektor baris dan vektor kolom panjang yang sama dapat dikalikan dalam rangka baik. Hasilnya adalah baik skalar, produk dalam, atau, matriks produk luar.
u = [3; 1; 4];
v = [2 0 -1];
x = v*u
x =
2
X = u*v
X =
6     0     -3
2     0     -1
8     0     -4
Untuk matriks riil, operasi transposisi dan simpang susun. MATLAB menggunakan tanda kutip (atau kutip tunggal) untuk menunjukkan merefleksikan. contoh kami matriks A adalah simetris, sehingga A “adalah sama dengan A. Tapi B tidak simetris.
B = magic(3);
X = B’
X =
8     3     4
1     5     9
6     7     2
Transposisi ternyata vektor baris ke dalam vektor kolom.
x = v’
x =
2
0
-1
Jika x dan y keduanya vektor kolom nyata, produk x * y tidak didefinisikan, tetapi kedua produk
x’*y
dan
y’*x
adalah skalar yang sama. kuantitas ini digunakan begitu sering, ia memiliki tiga nama yang berbeda: hasil kali dalam, produk skalar, atau dot product.
Untuk vektor kompleks atau matriks, z, kuantitas z ‘menunjukkan transpose konjugasi kompleks, di mana tanda bagian kompleks dari setiap elemen terbalik. The transpose kompleks unconjugated, di mana bagian kompleks setiap elemen mempertahankan tandanya, dilambangkan oleh z. ‘. Jadi jika
z = [1+2i 3+4i]
maka z adalah
1-2i
3-4i
sementara z. ‘ adalah
1+2i
3+4i
Untuk vektor kompleks, kedua produk skalar ‘* y dan y’ x * x adalah kompleks konjugat satu sama lain dan produk skalar * x ‘x dari vektor kompleks dengan itu sendiri adalah nyata.
Mengalikan Matriks
Perkalian matriks didefinisikan dengan cara yang mencerminkan komposisi transformasi linear yang mendasari dan memungkinkan representasi kompak sistem persamaan linier simultan. Produk Matriks C = AB didefinisikan jika ukuran kolom A adalah sama dengan dimensi baris B, atau ketika salah satunya adalah skalar. Jika A adalah m-oleh-p dan B p-by-n, C produk mereka adalah m-by-n. Produk ini sebenarnya dapat didefinisikan dengan menggunakan MATLAB untuk loop, notasi kolon, dan vektor dot produk.
A = pascal(3);
B = magic(3);
m = 3; n = 3;
for i = 1:m
for j = 1:n
C(i,j) = A(i,:)*B(:,j);
end
end
MATLAB menggunakan tanda bintang tunggal untuk menunjukkan perkalian matriks. Dua contoh berikut menggambarkan fakta bahwa perkalian matriks tidak komutatif, AB biasanya tidak sama dengan BA.
X = A*B
X =
15    15    15
26    38    26
41    70    39
Y = B*A
Y =
15    28    47
15    34    60
15    28    43
Sebuah matriks dapat dikalikan di sebelah kanan oleh vektor kolom dan di sebelah kiri dengan vektor baris.
u = [3; 1; 4];
x = A*u
x =
8
17
30
v = [2 0 -1];
y = v*B
y =
12    -7    10
perkalian matriks Rectangular harus memenuhi kondisi dimensi kompatibilitas.
C = memperbaiki (rand * 10 (3,2));
C = fix(10*rand(3,2));
X = A*C
X =
17    19
31    41
51    70
Y = C*A
Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree.
Sesuatu dapat dikalikan dengan skalar.
s = 7;
w = s*v
w =
14     0    -7



Sumber :http://blog.student.uny.ac.id